light mode
night mode
উচ্চতর গণিত
উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্স ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ ম্যাট্রিক্সের সরল নির্ণায়ক নির্ণায়কের ধর্মাবলি নির্ণায়কের ধর্ম ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরণের সমস্যা সমাধান নির্ণায়কের অনুরাশি ও সহগুনক নির্নায়কের মান নির্নয় বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স একঘাত সমীকরণ জোট বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে ক্রেমারের নিয়মে ভেক্টর দ্বিমাত্রিক ও ক্রিমাত্রিক জগতে i, j, k একটি ভেক্টরকে i, j, k দ্বারা প্রকাশ সমতলে ভেক্টরের অংশক সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ ভেক্টরের গুণন স্কেলার গুণন ভেক্টর গুণন সরল রেখা কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সঞ্চারপথের সমীকরণ সরলরেখার ঢাল বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ দুইটি সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হওয়ার শর্ত কোন বিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ বৃত্ত নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ বৃত্তের স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য দুইটি বৃত্তের সধারণ জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় বিন্যাস ও সমাবেশ বিন্যাস কি ? n! দ্বারা কি বুঝায়? বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র ও এর প্রয়োগ সমাবেশ কি? সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র ও এর প্রয়োগ সম্পূরক সমাবেশ শর্তাধীন সমাবেশ ক্রিকোণমিতিক অনুপাত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ধারণা ত্রিকোণমিতিক রাশির পরিচয় এবং তাদের মূলসূত্র কোণের ডিগ্রি,রেডিয়ান পরিমাপ চতুর্ভাগ অনুযায়ী ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের চিহ্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের সংজ্ঞা সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত যৌগিক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত গুনিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত উপগুনিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত ত্রিকোনমিতিক অভেদ ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র অন্বয় ও ফাংশন ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ বিভিন্ন ধরণের ফাংশন এক-এক ফাংশন সার্বিক ফাংশন সংযোজিত ফাংশন অভেদ ফাংশন ধ্রুবক ফাংশন বিপরীত ফাংশন বিপরীত ফাংশনের ডোমেইম এবং রেঞ্জ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায় কিছু গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের লেখচিত্র দ্বিঘাত ফাংশন সূচক ফাংশন লগারিদমিক ফাংশন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পরমমান ফাংশন অন্তরীকরণ লিমিট লিমিট হিসাবে অন্তরজ একপদী ও বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ অন্তরজের ধারণা থেকে কোন বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শক ও অভিলম্বের ঢাল ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যোগজীকরণ অনির্দিষ্ট যোগজ নির্দিষ্ট যোগজ নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা বাস্তব সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যার উপসেট পরমমান সম্বলিত অসমতা এক চলকের অসমতাকে সংখ্যারেখার সাহায্যে সমধান যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear progamming) যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের ধারণা মূল ধারণাসমূহ গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনাল কনসেপ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সুবিধা ও চ্যালেঞ্জসমূহ যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামে সমস্যা গঠন যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের এর শর্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের বাস্তব জীবনের প্রয়োগ গাণিতিক মডেল তৈরি জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) জটিল সংখ্যার ধর্ম জটিল সংখ্যা ও এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Argand diagram) জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) ও নতি (আর্গুমেন্ট) জটিল সংখ্যার বর্গমূল একের ঘনমূল সম্পর্কিত সমস্যা বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomials and Polynomials Equations) দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন ত্রিঘাত সমীকরণ দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions) দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ, মধ্য পদ ও সমদূরবর্তী পদ অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি কনিক (Conics) পরাবৃত্ত উপবৃত্ত অধিবৃত্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (Inverse Trigonometric Functions and Trigonometric Equations) বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন কী? বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণাবলী ও গাণিতিক ব্যাখ্যা sin −1 (x),cos −1 (x),tan −1 (x) এর সংজ্ঞা বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংমিশ্রণ স্থিতিবিদ্যা (Statics) স্থিতিবিদ্যার পরিচয় বল ও শক্তির বেসিক ধারণা বহুবিধ বলের কার্যকারিতা লিভার (Levers) এবং তার প্রকারভেদ গোলোক (Couple) এবং তার প্রভাব পিভট (Pivot) ও তার ব্যবহার নমনীয়তা (Elasticity) এবং তার সম্পর্ক . এ্যাঙ্গেল (Angle) এবং তার প্রভাব সমতলে বস্তুকণার গতি (Motion of particles in a plane) সমতলে বস্তুকণার গতি সম্পর্কে ধারণা বস্তুকণার গতির পরিমাণ গতি এবং ত্বরণের উপাদান বৃত্তাকার গতি (Circular Motion) গতি সমীকরণ (Equations of Motion) শক্তি এবং কাজ গতি সম্পর্কিত বিশেষ সমস্যা বিস্তার পরিমাপ ও সম্ভাবনা (Measures of Dispersions and Probability) উপাত্তের বিস্তার পরিমাপ শ্রেণিকৃত ও অশ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাংক একই ঘটনার পুনরাবৃতি ঘটলে সম্ভাবনা পরস্পর বর্জনশীল ও অবর্জনশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র অনির্ভরশীল ও নির্ভলশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার গুণনসূত্রের প্রয়োগ বাস্তব জীবনভিত্তিক সহজ সমস্যার সমাধান

ত্রিকোনমিতিক অভেদ

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | | NCTB BOOK

ত্রিকোনমিতিক অভেদ বা ত্রিকোণমিতিক আইডেন্টিটিস (Trigonometric Identities) হলো কিছু নির্দিষ্ট সূত্র যা বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করে। এই অভেদগুলো বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান এবং ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। নিচে কিছু গুরুত্বপূর্ণ ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যাখ্যা করা হলো:

১. মৌলিক ত্রিকোনমিতিক অভেদ (Fundamental Identities)

এই অভেদগুলো ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মূল সম্পর্কগুলো প্রকাশ করে।

  • পাইথাগোরাস অভেদ (Pythagorean Identity):
    \[
    \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
    \]

    এই সূত্র থেকে আরো দুটি সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়:
    \[
    1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
    \]
    \[
    1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
    \]

২. পারস্পরিক অভেদ (Reciprocal Identities)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক বোঝায়।

  • সাইন ও কোসেকেন্ট সম্পর্ক:
    \[
    \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
    \]
  • কোসাইন ও সেকেন্ট সম্পর্ক:
    \[
    \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
    \]
  • ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্ট সম্পর্ক:
    \[
    \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
    \]

৩. অনুপাত সম্পর্ক (Quotient Identities)

ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টকে সাইন ও কোসাইনের সাথে সম্পর্কিত করে।

  • ট্যানজেন্ট:
    \[
    \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
    \]
  • কোট্যানজেন্ট:
    \[
    \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
    \]

৪. যোগ ও বিয়োগ অভেদ (Sum and Difference Identities)

দুটি কোণের যোগফল বা বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়ে এই অভেদগুলো ব্যবহৃত হয়।

  • সাইন যোগ-বিয়োগ অভেদ:
    \[
    \sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B
    \]
    \[
    \sin(A - B) = \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B
    \]
  • কোসাইন যোগ-বিয়োগ অভেদ:
    \[
    \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B
    \]
    \[
    \cos(A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B
    \]
  • ট্যানজেন্ট যোগ-বিয়োগ অভেদ:
    \[
    \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
    \]
    \[
    \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}
    \]

৫. দ্বিগুণ কোণ অভেদ (Double Angle Identities)

দ্বিগুণ কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

  • সাইন:
    \[
    \sin(2\theta) = 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta
    \]
  • কোসাইন:
    \[
    \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
    \]
  • ট্যানজেন্ট:
    \[
    \tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
    \]

৬. অর্ধকোণ অভেদ (Half Angle Identities)

অর্ধকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ে এই সূত্রগুলো ব্যবহৃত হয়।

  • সাইন:
    \[
    \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
    \]
  • কোসাইন:
    \[
    \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
    \]
  • ট্যানজেন্ট:
    \[
    \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
    \]

এই ত্রিকোণমিতিক অভেদগুলো ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয় করা সহজ হয় এবং ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা যায়।

Read more

ত্রিকোনমিতিক অভেদ

or

Don't have an account? Register

Promotion